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Embora o utilitarismo seja uma das teorias morais mais influentes, são poucos os autores que tentaram apresentar argumentos directos e decisivos a favor desta perspectiva. John Harsanyi é um desses autores. Segundo Harsanyi, o utilitarismo pode ser estabelecido a partir dos recursos da teoria da decisão, mais precisamente da teoria da utilidade de Von Neumann-Morgenstern, e de algumas premissas morais alegadamente triviais. O teorema utilitarista de Harsanyi é o objecto central deste ensaio. As primeiras três secções visam sobretudo apresentá-lo claramente; a secção 4 consiste na apresentação e discussão dos argumentos suplementares que Harsanyi avança a favor de uma versão específica de utilitarismo; por fim, na secção 5, discuto o valor filosófico do teorema de Harsanyi.

Antes de iniciar este percurso, parece-me vantajoso elucidar minimamente as noções elementares de utilidade, função de utilidade e utilidade esperada. Imaginemos um agente, A, que está indeciso entre ir ao cinema e ir a um concerto. A ida ao cinema tem dois resultados possíveis: a experiência de ver um filme bom e a experiência de ver um filme mau. Quanto ao concerto, A sabe que gostará da música, mas as condições atmosféricas poderão não ser as melhores. Também esta opção tem dois resultados possíveis: a experiência de ouvir música com bom tempo e a experiência de ouvir música à chuva. Considerando agora os quatro resultados possíveis, suponhamos que as preferências de A obedecem à seguinte ordem:

Uma função de utilidade associará cada um destes resultados possíveis a um único número real.[1] Esses números indicarão a utilidade do resultado para o agente. A expressão «u(x)», aliás, representa a utilidade de um item x para o agente. Por exemplo, a expressão «u(b) = 7» significa que 7 é a utilidade de ver um bom filme.

Suponha-se que as utilidades que nos interessam são as seguintes: u(a) = 10; u(b) = 7; u(c) = 3; u(d) = 2. E imagine-se agora que A tem estas duas crenças: a probabilidade de o filme ser mau é de 0.2 e a probabilidade de chover durante o concerto é de 0.4. Com estes dados, estamos em condições de calcular a utilidade esperada de cada uma das opções. Para sabermos qual é a utilidade esperada de uma opção, multiplicamos a utilidade de cada um dos resultados possíveis dessa opção pela sua probabilidade e somamos os valores obtidos desta maneira. Estas são, respectivamente, as utilidades esperadas de ir cinema e de ir ao concerto: (7 • 0.8) + (2 • 0.2) = 6; (10 • 0.6) + (2 • 0.4) = 6.8.

De acordo com a teoria da decisão, A procederá como um agente racional apenas se for ao concerto, pois essa é a opção que maximiza a utilidade esperada.

1. Utilitarismo

Uma teoria utilitarista acerca do estatuto moral dos actos, seja ela qual for, assenta em três pressupostos essenciais: o consequencialismo, o welfarismo e o agregacionismo. Cada um destes pressupostos pode ser desenvolvido de várias maneiras, o que dá origem a um leque muito diversificado de teorias utilitaristas. Vejamos, então, qual é versão de utilitarismo que Harsanyi aceita.

Segundo o pressuposto consequencialista, o único padrão ético fundamental é a promoção imparcial do bem ou a realização de estados de coisas valiosos. O consequencialista directo defende que o estatuto moral de um acto depende unicamente do valor das suas consequências, o que significa que qualquer acto é moralmente obrigatório, permissível ou proibido apenas em virtude de promover o bem e mitigar o mal. Um consequencialista indirecto alega que o estatuto moral de um acto depende de outros factores, como a conformidade a certas regras ou a presença de certos motivos. Porém, avalia esses factores atendendo apenas à promoção imparcial do bem. Harsanyi é um consequencialista indirecto. Defende, mais precisamente, um utilitarismo das regras que se deixa caracterizar pelas seguintes teses: (1) O acto moralmente certo é aquele que se conforma à regra moral correcta que é aplicável ao tipo de situação em que o agente se encontra; (2) A regra moral correcta é aquela que maximizaria o bem se fosse observada por todos os agentes em todas as situações desse tipo.[2]

De acordo com o pressuposto welfarista, o bem a promover consiste apenas no bem-estar dos indivíduos que podem ser afectados pelos actos sob consideração. O bem-estar é uma propriedade de indivíduos dotados de estados mentais e é constituído por aqueles aspectos da vida de um indivíduo que a tornam boa para si próprio. Como seria de esperar, os utilitaristas divergem profundamente no modo como concebem o bem-estar. A perspectiva que Harsanyi aceita a este respeito identifica o bem-estar com a satisfação de preferências pessoais. Porém, Harsanyi introduz duas qualificações muito fortes a esta perspectiva. Por um lado, afirma que apenas as preferências informadas devem ser levadas em conta. As preferências informadas de um indivíduo são aquelas que «ele teria se possuísse toda a informação factual relevante, raciocinasse sempre com o maior cuidado possível e estivesse no estado de espírito mais propício à realização de escolhas racionais» (1977: 55). Por outro lado, Harsanyi sustenta que as preferências anti-sociais (como as que decorrem do sadismo, da inveja ou do ressentimento) têm de ser excluídas.

Para o utilitarista, a moralidade consiste na promoção de estados de coisas valiosos. E o valor de um estado de coisas é determinado unicamente pelo bem-estar dos indivíduos que nele estão abrangidos. O pressuposto agregacionista acrescenta o seguinte a esta imagem: para determinar o valor de um estado de coisas, devemos somar ou adicionar o bem-estar dos indivíduos sob consideração. (O modo como o bem-estar está distribuído não é intrinsecamente importante.) O utilitarismo desdobra-se aqui em duas versões: alguns utilitaristas defendem que os melhores estados de coisas são aqueles que exibem o maior total de bem-estar; outros, no entanto, propõem a promoção do bem-estar médio. Harsanyi advoga esta segunda versão da teoria -- um utilitarismo de média.

2. A teoria da utilidade de Von Neumann-Morgenstern

Suponha-se que as preferências de A a respeito daquilo que vai comer à sobremesa obedecem à seguinte ordem: A prefere bolo a queijo e prefere queijo a fruta. Acrescentemos agora que A prefere muito queijo a fruta, mas não prefere tanto bolo a queijo. Como podemos determinar a intensidade ou força relativa das preferências de A?

Considere-se a seguinte escolha: comer queijo ou arriscar uma «lotaria» que dará bolo em caso de «vitória» e fruta em caso de «derrota». Se a probabilidade de vitória for, por exemplo, apenas de 10%, A não arriscará a lotaria e escolherá comer queijo: dado que a sua preferência por bolo a queijo não é assim tão forte, A não estará disposto a sujeitar-se a um risco muito grande de comer fruta. Porém, se a probabilidade de vitória for muito elevada (por exemplo, 95%), A escolherá a lotaria em vez de optar por comer queijo. Suponhamos agora o seguinte: quando a probabilidade de vitória é de 75%, para A é indiferente comer queijo ou arriscar a lotaria. De acordo com a teoria de Von Neumann-Morgenstern, isto significa que, numa escala que represente a força relativa das preferências de A, comer queijo ficará a 3/4 entre comer fruta e comer bolo.[3] Se usarrmos uma escala de utilidade que vá de 0 a 1, obteremos o seguinte resultado:

Não é forçoso usar uma escala de 0 a 1. Podemos recorrer a qualquer outra escala que possa ser obtida a partir desta a partir de uma transformação linear positiva. Esta escala de 4 a 12, por exemplo, também seria apropriada:

Note-se que esta segunda escala pode ser obtida a partir da primeira através da fórmula u’ = 8u + 4.[4] Esta fórmula é um caso especial de u’ = au + b. Se uma escala pode ser obtida a partir de outra através desta fórmula mais geral quando a > 0, diz-se que a primeira pode ser obtida a partir da segunda através de uma transformação linear positiva. Uma transformação deste género preserva a distância ou o intervalo entre as utilidades.

Esclarecida esta noção, estipulemos agora que a expressão L (a, x, y) representa uma lotaria L na qual há uma probabilidade a de obter o prémio x e uma probabilidade de 1 – a de obter o prémio y. Como vimos, A é indiferente entre comer queijo e sujeitar-se à lotaria L (3/4, bolo, fruta). Assim, podemos colocar a própria lotaria na escala de utilidade de A -- esta ficará no mesmo ponto que a opção de comer queijo.

A lotaria L (3/4, bolo, fruta) é uma lotaria simples, pois envolve apenas os «prémios básicos» bolo e fruta. Os próprios prémios básicos também são considerados lotarias. E existem também lotarias compostas, como L (1, L (0, bolo, fruta), bolo). Podemos então definir «lotaria» através das seguintes condições:

2. Se L₁ e L₂ são lotarias, então L (a, L₁, L₂) também é uma lotaria, onde 0 ≤ a ≤ 1.

3. Uma coisa é uma lotaria se, e somente se, pode ser construída de acordo com as regras 1 e 2.

Avancemos agora para o aspecto da teoria da utilidade de Von Neumann-Morgenstern que mais nos interessa: o teorema da utilidade esperada. Como veremos na próxima secção, Harsanyi recorre a este resultado na sua tentativa de provar o utilitarismo. Para os nossos propósitos, não vale a pena expor uma demonstração do teorema da utilidade esperada.[5] Basta elucidar o seu conteúdo e formular de forma intuitiva os seus pressupostos ou axiomas.

O teorema da utilidade esperada diz-nos que, se um agente satisfizer certas condições, podemos construir uma função (ou escala) de utilidade intervalar com certas propriedades. Para começar, vejamos que condições são essas. A expressão «xPy» significa «o agente prefere x a y». E a expressão «xIy» significa «o agente é indiferente entre x e y».

C1. Condição de ordenação

O agente satisfaz esta condição complexa se, e somente se, satisfaz as condições O1-O8:

C2. Condição da continuidade

Considerem-se três alternativas A, B, C. O agente prefere A a B e B a C. Nesse caso, o agente tem de ser indiferente entre B e uma lotaria cujos prémios são A e C. Em termos mais formais: para quaisquer lotarias x, y e z, se xPy e yPz, então existe um número real a tal que 0 ≤ a ≤ 1 e y I L(a, x, z).

C3. Condição dos melhores prémios

Em igualdade de circunstâncias, o agente tem de preferir uma lotaria a outra se a primeira envolve melhores prémios. Em termos mais formais: para quaisquer lotarias x, y e z e qualquer número a (0 ≤ a ≤ 1), xPy se e somente se L(a, z, x) P L(a, z, y) e L(a, x, z) P L(a, y, z).

C4. Condição das melhores hipóteses

Em igualdade de circunstâncias, o agente tem de preferir uma lotaria a outra se a primeira lhe dá melhores hipóteses de conseguir o melhor prémio. Em termos mais formais: para quaisquer lotarias x e y e quaisquer números a e b (ambos entre 0 e 1, inclusivamente), se xPy, então a > b apenas no caso de L(a, x, y) P L(b, x, y).

C5. Condição da redução de lotarias compostas

O agente tem de avaliar as lotarias compostas em conformidade com o cálculo de probabilidades.

Consideremos agora o teorema da utilidade esperada. De acordo com este teorema, se o agente satisfaz as condições C1-C5, podemos construir uma função (ou escala) de utilidade u com as seguintes propriedades:

4. Qualquer u’ que também satisfaça (1)-(3) é uma transformação linear positiva de u.

O aspecto mais interessante deste teorema reside em 3, que nos diz que a utilidade de uma lotaria é igual à sua utilidade esperada — u tem a propriedade da utilidade esperada.[6]

3. O teorema de Harsanyi

Considere-se um conjunto finito de indivíduos (os «cidadãos») que têm preferências pessoais acerca de um número finito de opções sociais. Considere-se também o «Planeador», isto é, um indivíduo que pretende seriar moralmente as opções sociais. Este indivíduo pode ser um dos cidadãos. Se for, então terá duas seriações de preferências: uma seriação pessoal e uma seriação moral.

Tanto as seriações pessoais dos cidadãos como a seriação moral do Planeador têm de satisfazer certas condições de racionalidade. As opções sociais e as lotarias que envolvem essas opções têm de ser seriadas. Além disso, as seriações têm de satisfazer as condições C1-C5. Satisfeitas estas condições, as seriações de preferências de cada cidadão e a seriação moral do Planeador poderão ser representadas por funções (ou escalas) de utilidade de Von Neumann-Morgenstern. (Estipulemos que U_i(x) é a utilidade que o cidadão i atribui à opção x, e que W(x) é a utilidade que o Planeador atribui a x.)

A seriação moral do Planeador está sujeita a duas condições adicionais de natureza moral: o princípio de Pareto forte e a condição do anonimato.

C6. Princípio de Pareto forte

P1.Se cada cidadão é indiferente entre duas opções, então o Planeador também é indiferente entre essas duas opções.

P2.Se nenhum cidadão prefere x a y e pelo menos um cidadão prefere y a x, então o Planeador também prefere y a x.

C7. Condição do anonimato

O Planeador atribui o mesmo peso a cada cidadão ao seriar as opções sociais. Suponha-se, por exemplo, que a sociedade consiste em três cidadãos. O primeiro atribui à opção x uma utilidade de 0, o segundo atribui-lhe uma utilidade de 3/4 e o terceiro atribui-lhe uma utilidade de 1. Podemos representar esta situação através do vector (0, 3/4, 1). Se satisfizer a condição do anonimato, o Planeador terá de atribuir a esta opção a mesma utilidade que atribui a opções representáveis por vectores como (1, 0, 3/4) ou (3/4, 1, 0).

Podemos agora apresentar o teorema de Harsanyi. Este diz-nos que, se os cidadãos e o Planeador satisfizerem as condições de racionalidade e se, além disso, o Planeador satisfizer as condições C6 e C7, então, para cada opção x:

Ou seja, a utilidade que o Planeador atribuirá a cada opção será igual à soma das utilidades atribuídas pelos cidadãos a essa opção.

4. Argumentos suplementares

Mesmo que este teorema mostre efectivamente que temos de adoptar alguma forma de ética utilitarista, uma coisa é certa: não mostra que a melhor forma de utilitarismo é a versão particular dessa teoria que Harsanyi subscreve. Porém, Harsanyi tem argumentos suplementares que visam convencer-nos da superioridade dessa versão.

Comecemos pelo tipo de consequencialismo que caracteriza o utilitarismo de Harsanyi. Por que razão havemos de preferir o utilitarismo das regras ao utilitarismo dos actos? Porque, alega Harsanyi, o utilitarismo das regras é superior em termos de maximização do bem-estar social, o que se torna manifesto em vários tipos de efeitos práticos da adopção da teoria, nomeadamente o «efeito da coordenação» e os «efeitos das expectativas e dos incentivos».

O efeito da coordenação corresponde à ideia de que o utilitarismo das regras está em melhores condições de organizar a cooperação e a coordenação de estratégias entre pessoas diferentes. Harsanyi apresenta um exemplo de uma votação para ilustrar este efeito. O acto de votar envolve algum incómodo para cada eleitor, mas socialmente é muito importante que uma certa medida seja aprovada, sendo necessária apenas uma maioria simples para esse efeito. Há mil eleitores que favorecem a medida, mas oitocentos recusam-na. Suponha-se que os mil eleitores são utilitaristas dos actos. Nesse caso, cada um deles suportará o incómodo de votar somente se pensar que o seu voto é decisivo para a aprovação da medida, ou seja, somente se esperar que exactamente oitocentos eleitores irão votar a favor da medida. Dado que é extremamente improvável que cada eleitor julgue que o seu voto é decisivo, a maior parte dos utilitaristas dos actos não irá votar, e assim a medida que maximizaria o bem-estar social não será aprovada. Se, porém, os mil eleitores forem utilitaristas das regras, o caso mudará de figura: todos irão votar. Tendo de escolher entre a estratégia de todos votarem e a estratégia de ninguém votar, cada utilitarista das regras escolheria a primeira estratégia, já que esta é a que maximiza o bem-estar social. Harsanyi conclui: «ao seguirem a regra de decisão do utilitarismo das regras, as pessoas podem concretizar uma cooperação espontânea bem sucedida em situações nas quais isso seria impossível através da adesão a uma regra de decisão do utilitarismo dos actos (ou, pelo menos, em situações nas quais isso seria impossível na ausência de um acordo e coordenação explícitos, e talvez na ausência de um esforço organizativo dispendioso)» (1977: 57).

Consideremos agora os efeitos das expectativas e dos incentivos, tomando como exemplo a moralidade das promessas. Segundo Harsanyi, um utilitarista dos actos estaria disposto a faltar à palavra sempre que um acto de quebrar promessas maximizasse o bem. O utilitarista das regras, pelo contrário, teria de perguntar pelas consequências sociais da adopção de uma regra que permitisse quebrar promessas sob as condições A, B, C, etc. — presumindo que os membros da sociedade saberiam que as promessas poderiam ser quebradas nessas condições. Desse modo, não quebraria promessas em muitas circunstâncias nas quais o utilitarista dos actos faltaria à palavra. A situação é análoga em muitos tipos de actos moralmente proeminentes, como roubar ou matar. Harsanyi sugere assim que o utilitarismo das regras nos permite esperar que os outros não realizem actos como esses e incentiva os agentes a não os realizarem. Uma sociedade de utilitaristas dos actos, pelo contrário, seria intoleravelmente instável e imprevisível.

Estes argumentos são interessantes, mas não estabelecem a superioridade do utilitarismo das regras. Harsanyi entende o utilitarismo dos actos como um procedimento para tomar decisões morais (como uma «regra de decisão»), mas não é nessa qualidade que a doutrina tem sido defendida. Os utilitaristas dos actos visam primariamente esclarecer o estatuto moral dos actos, ou seja, determinar os factores que tornam os actos moralmente certos ou errados. Se o utilitarista dos actos desenvolver a sua perspectiva reconhecendo, à maneira de R. M. Hare (1981), um nível crítico e um nível intuitivo do pensamento moral, não terá qualquer dificuldade em mostrar que a sua teoria não enfrenta os problemas práticos que Harsanyi aponta.

Examinemos agora o tipo de welfarismo que Harsanyi advoga. Como vimos, este assenta numa versão qualificada da tese segundo a qual o bem-estar consiste unicamente na satisfação de preferências. Importa maximizar, não as preferências que os agentes efectivamente têm, mas as preferências que eles teriam se estivessem inteiramente informados. E as preferências anti-sociais devem ser ignoradas mesmo que partam de agentes informados.

Ambas as qualificações colocam problemas delicados. (1) Se Harsanyi tem razão, então o utilitarismo é uma teoria moral demonstravelmente verdadeira e, assim, qualquer agente perfeitamente informado aceita o utilitarismo. Deste modo, não teremos de excluir da deliberação moral quaisquer preferências incompatíveis com a ética utilitarista? (2) A exclusão das preferências anti-sociais é motivada apenas pelas implicações práticas moralmente contra-intuitivas que decorrem da atribuição de peso a essas preferências na deliberação moral. Porém, ao excluirmos as preferências anti-sociais por esta razão, não estaremos a pressupor um padrão moral distinto do utilitarismo?

Para terminar, vejamos o que leva Harsanyi a defender um utilitarismo de média em vez de um utilitarismo total. O seu argumento surge aqui a propósito do problema de escolher o sistema social moralmente superior. Harsanyi antecipou John Rawls ao introduzir a suposição de que essa escolha terá de ocorrer sob um véu de ignorância. Para escolher, por exemplo, entre o capitalismo e o socialismo, o agente não pode saber que posição social específica ocupará num desses sistemas.

Suponha-se que uma certa sociedade consiste em n indivíduos. Numeremos cada um desses indivíduos em função da posição social que ocupa: 1 será o indivíduo mais privilegiado, 2 o segundo mais privilegiado e assim por diante até a n — o cidadão mais desfavorecido.Denotemos os níveis de utilidade de que os indivíduos 1, 2, ... , n desfrutariam num certo sistema social da seguinte maneira: U₁, U₂, ... , U_n. O indivíduo i quer avaliar moralmente vários sistemas sociais. Sob o véu de ignorância de Harsanyi, i atribuirá a mesma probabilidade 1/n à situação de ocupar qualquer posição social específica e, consequentemente, à situação de desfrutar qualquer um dos níveis de utilidade U₁, U₂, ... , U_n. Ora, se obedecer às condições de racionalidade da teoria da decisão, i escolherá o sistema social que maximizaria a sua utilidade esperada. Neste contexto, a utilidade esperada é a quantidade que representa a média aritmética de todos os níveis de utilidade individuais da sociedade. Deste modo, conclui Harsanyi, «um indivíduo racional usará sempre esta utilidade média como função de bem-estar social, ou seja, será um utilitarista que define a utilidade social como a média das utilidades individuais» (1977: 46).

Este argumento é uma contribuição importante para a filosofia moral e política, mas está longe de ser conclusivo. Harsanyi presume que, numa situação de escolha sob ignorância na qual não sabemos que posição social específica iremos ocupar numa certa sociedade, devemos recorrer ao princípio da razão insuficiente atribuindo a mesma probabilidade à situação de ocupar cada uma das posições possíveis. No entanto, o véu de ignorância rawlsiano, significativamente mais espesso, conduz a um resultado diferente. Segundo a teoria de Rawls, o maximin é o melhor princípio de escolha neste contexto: o indivíduo i, sem saber que posição iria ocupar na sociedade nem a probabilidade de ocupar cada uma das posições possíveis, escolheria o sistema social em que aqueles que vivessem pior tivessem os maiores níveis de utilidade. Uma escolha deste género não favorece o utilitarismo.

5. Uma avaliação do teorema

Será que o teorema de Harsanyi proporciona um argumento poderoso a favor da adopção de uma ética utilitarista? Para responder a esta questão, importa sobretudo examinar a plausibilidade das condições a partir das quais o teorema é demonstrado.

Para obtermos este teorema, temos de supor que as preferências dos cidadãos obedecem às condições de racionalidade especificadas pela teoria da decisão. Embora Harsanyi afirme que estas condições são bastante fracas, está longe de ser evidente que os seres humanos as satisfaçam na maior parte dos casos. Além disso, é inquestionável que tanto os animais não humanos como os seres humanos intelectualmente imaturos ou debilitados não satisfazem de forma alguma as condições C1-C5. Logo, na teoria de Harsanyi não há qualquer lugar para as preferências dos animais, das crianças de tenra idade ou dos deficientes morais profundos. Por isso, Harsanyi dificilmente poderá ter demonstrado o utilitarismo, pois esta teoria moral prescreve a consideração estritamente imparcial pelos interesses de todos os seres sencientes.

Harsanyi supõe que as condições morais a que o Planeador está sujeito são trivialmente verdadeiras. No entanto, a condição do anonimato, C7, é manifestamente controversa. Muitos deontologistas recusá-la-iam alegando que por vezes é permissível, ou mesmo obrigatório, não atribuir o mesmo peso aos interesses de todos aqueles cujo bem-estar poderá ser afectado por aquilo que decidirmos. Algumas parcialidades que decorrem de ligações e compromissos pessoais podem ser moralmente justificáveis.

Também a condição C6 é questionável. Esta condição supõe o chamado «paretianismo fraco»: se um estado de coisas x está acima de um estado de coisas y na escala de utilidades de todos, então x é um estado de coisas melhor do que y. Amartya Sen (1979: 272-275) mostra vividamente por que razão este princípio é controverso a partir de um exemplo que envolve dois indivíduos: o puritano P, que condena a leitura de um certo livro que considera pornográfico, e o libertino L. Temos também três estados de coisas, p, l e o: em p, P lê o livro; em l, L lê o livro e em o ninguém lê o livro. As escalas (meramente ordinais) de utilidades de P e L são as seguintes:

De acordo com o paretianismo fraco, p é melhor do que l. Porém, se subscrevermos uma ética libertária, chegaremos a um resultado incompatível com este. O princípio libertário que gera o conflito é o seguinte: se dois estados de coisas x e y diferem entre si apenas em aspectos privados que dizem respeito a uma certa pessoa, então o modo como x e y são seriados pertence à «esfera protegida» dessa pessoa. À luz deste princípio, o é melhor do que p, pois a diferença entre estes dois estados não envolve L directamente e p não deseja ler o livro e sofrerá se o ler. E l é melhor do que o, pois a diferença entre estes dois estados não envolve P directamente e L deseja ler o livro e lucrará com a sua leitura. Logo, l é melhor do que p.

Dado que todas as condições do teorema de Harsanyi são bastante controversas, podemos concluir, pelo menos, que este deixa em aberto o problema de saber devemos aceitar a ética utilitarista.[7]

Bibliografia

Harsanyi, John (1977) «Morality and the Theory of Rational Behaviour» in Sen e Williams (orgs.), Utilitarianism and Beyond, Cambridge, Cambridge University Press, 1982, pp. 39-62.

Harsanyi, John (1978) «Bayesian Decision Theory and Utilitarian Ethics» in Darwall (org.) Consequentialism, Blackwell, 2003, pp. 197-206.

Resnik, Michael (1987) Choices: An Introduction to Decision Theory, Minneapolis, University of Minnesota Press.

Sen, Amartya (1979) «Utilitarianism and Welfarism» in Darwall (org.) Consequentialism, Blackwell, 2003, pp. 259-285.

Zilhão, António (2001) «Teoria da Decisão» in Branquinho e Murcho (orgs.), Enciclopédia de Termos Lógico-Filosóficos, Lisboa, Gradiva.

[1] Para efeitos práticos, pode-se falar indiferentemente de funções de utilidade e de escalas de utilidade. Porém, as funções são as várias maneiras associar números às preferências do agente e as escalas consistem nas sequências dos números utilizados.

[2] Veja-se Harsanyi (1977: 41).

[3] Uma escala deste género é uma escala de utilidade intervalar. Numa escala (ou função) de utilidade meramente ordinal, tudo o que importa é representar a ordem das preferências do agente, não sendo necessário determinar os intervalos que as separam.

[4] Veja-se: 4 = (8 · 0) + 4; 6 = (8 · ¼) + 4; 8 = (8 · ½) + 4; 10 = (8 · ¾) + 4; 12 = (8 · 1) + 4.

[5] Para uma demonstração e discussão do teorema da utilidade esperada, veja-se Resnik (1987), pp. 91-120.

[6] Veja-se o caso da lotaria L (3/4, bolo, fruta). A utilidade esperada desta lotaria é (1 · 3/4) + (0 · 1/4) = 3/4. Ou então, na escala de 4 a 12: (12 · 3/4) + (4 · 1/4) = 10.

[7] Este ensaio resultou em grande medida do trabalho realizado no seminário Probabilidades e Decisão, conduzido por António Zilhão na Faculdade de Letras da Universidade de Lisboa.